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Les carrés magiques associatifs sont des carrés magiques dont les sommes des pairs de nombres symétriques par rapport au centre du carré sont égales. Dit autrement soit une matrice carré $M$ de taille $n\times n$ qui est un carré magique d'ordre $n$ , alors $M$ est un carré magique associatif si et seulement si pour tous $i$ , $j$ compris entre $1$ et $n$ , les sommes suivantes sont identiques $M[i,j]+M[n-i,n-j]$ . Cette nouvelle constante différente de la constante magique du carré magique est nommée par la suite la constante magique de symétrie.

Propriétés générales[modifier | modifier le code]

Sur la constante magique de symétrie[modifier | modifier le code]

Dans le cas d'un carré magique strict qui est rempli avec les nombres 1 à $n^{2}$ , alors la nouvelle constante des sommes des nombres symétriques est $n^{2}+1$ .
Si un carré magique associatif est d'ordre $n$ impair, alors la case centrale vaut ${\frac {n^{2}+1}{2}}$ .
Dans le cas relâché d'un carré magique d'ordre $n$ pair qui n'a pas forcément tous les nombres de 1 à $n^{2}$ , il existe un lien entre la constante magique, notée $\rho$ , et celle magique de symétrie, notée $\sigma$ : $\sigma ={\frac {2\rho }{n}}$ . On retrouve dans la valeur classique pour les carrés magiques stricts, $\sigma ={\frac {2\rho }{n}}={\frac {2n(n^{2}+1)/2}{n}}=n^{2}+1$ .
Toujours dans le cas relâché, le case centrale a pour valeur ${\frac {\rho }{n}}={\frac {\sigma }{2}}$ . Là encore, on retrouve dans le cas classique des carrés magique, la valeur ${\frac {\sigma }{2}}={\frac {n^{2}+1}{2}}$ .

Sur les carrés magiques associatifs équivalents pour tous ordres[modifier | modifier le code]

Tourner un carré magique associatif de 90 degrés redonne un carré magique associatif.
Faire le symétrique d'un carré magique associatif par une des deux diagonales redonne un carré magique associatif.
Faire le symétrique d'un carré magique associatif par l'axe horizontale ou verticale redonne un carré magique associatif.
Du fait des trois points ci-dessus, à partir de n'importe quel carré magique associatif, il est possible d'en générer 7 autres par rotations et réflexions.
Deux carrés magiques associatifs sont alors équivalents si l'un se déduit de l'autre par les actions ci-dessus.

Il est alors toujours possible de grouper les carrés magiques associatifs par groupe de 8 carrés équivalents.

Sur les transformation préservant les carrés magiques associatifs[modifier | modifier le code]

Echanger deux lignes ou colonnes équidistante du centre du carré, conserve le caractère de carré magique associatif. Le fait qu'elles soient équidistante du centre permet de s'assurer que la somme des diagonales est toujours égales à la constante magique.
Pour un ordre $n$ pair, il est donc possible d'échanger $n/2$ pairs de lignes et de colonnes, donc de générer $2^{n/2}\times 2^{n/2}=2^{n}$ carrés magiques.
Pour un ordre $n$ impair, il y a seulement $2^{n-1}$ nouveaux carrés magiques associatifs générés.
Echanger toutes les lignes revient à faire une symétrie selon l'axe horizontal, et échanger toutes les colonnes revient à faire une symétrie selon l'axe vertical.

16	3	2	13
9	6	7	12
5	10	11	8
4	15	14	1

16	3	2	13
5	10	11	8
9	6	7	12
4	15	14	1

Echanger symétriquement deux lignes (ou deux colonnes) de chaque côté du carré permet de générer un nouveau carré magique associatif.
Dans le cas d'un ordre pair, cela permet de générer $2^{n(n-2)/8}\times 2^{n(n-2)/8}=2^{n(n-2)/4}$ carrés magiques associatifs
Dans le cas d'un ordre impair, cela permet de générer $2^{(n-1)(n-3)/8}\times 2^{(n-1)(n-3)/8}=2^{(n-1)(n-3)/4}$ carrés magiques associatifs.
Dans l'exemple suivant les lignes 1 et 2 sont échangés et symétriquement les lignes 3 et 4 le sont aussi.

1	15	14	4
12	6	7	9
8	10	11	5
13	3	2	16

12	6	7	9
1	15	14	4
13	3	2	16
8	10	11	5

Tableau des nombres de carré magique associatifs par ordre^[1][modifier | modifier le code]

ordre	1	2	3	4	5	6	7
Nombre	1	0	1	48	48544	0	1125154039419854784^[2]

Carré magique associatif d'ordre 3[modifier | modifier le code]

Il n'existe qu'un carré magique d'ordre 3 associatif à rotation et réflexion près^[1] (ou qu'un groupe de 8 carrés magiques associatifs équivalents). C'est le célèbre et unique carré magique d'ordre 3. La somme des pairs de nombres fait $3^{2}+1=10$ : $9+1$ , $8+2$ , $7+3$ , $6+4$ . Le centre dans ce cas est obligatoirement le nombre ${\frac {3^{2}+1}{2}}=5$

8	1	6
3	5	7
4	9	2

Si on relâche la contrainte d'avoir tous les nombres de 1 à 9 dans le carrés magiques et utilisant la forme générale des carrés magiques d'ordre 3, alors les carrés magiques sont encore associatifs. Donc tous les carrés magiques d'ordre 3 sont associatifs. Dans l'exemple suivant, la constante magique est $\rho =12$ , donc la constante magique de symétrie est $\sigma ={\frac {2\times 12}{3}}=8$ et la case centrale a alors pour valeur $\sigma /2=4$ .

5	1	6
5	4	3
2	7	3

En conclusion, tous les carrés magiques d'ordre 3 sont associatifs.

Carré magique associatif d'ordre 4[modifier | modifier le code]

Sur les 7 040 carrés magiques d'ordre 4, 384 sont associatifs, groupés par classe d'équivalence, cela donne 48 carré magiques associatifs à rotations et symétrie près^[1]. Le célèbre carré magique d'Albrecht Dürer fait parti de ces carrés magiques associatifs. La constante magique de symétrie est égale à 17.

16	3	2	13
5	10	11	8
9	6	7	12
4	15	14	1

Carré magique associatif d'ordre 5[modifier | modifier le code]

Il existe 48 544 carrés magiques associatifs à rotation et symétrie près^[1]. En voici un exemple facilement constructible avec la méthode siamoise ; la constante magique de symétrie est 26 et la constante magiques vaut 65.

17	24	1	8	15
23	5	7	14	16
4	6	13	20	22
10	12	19	21	3
11	18	25	2	9

Références[modifier | modifier le code]

↑ ^{a b c et d} « A081262 - OEIS », sur oeis.org
↑ Go Kato et Shin-ichi Minato, « Enumeration of associative magic squares of order 7 », arXiv:1906.07461 [math],‎ 18 juin 2019 (lire en ligne, consulté le 11 mai 2020)

Liens externes[modifier | modifier le code]

[:0-1] {a b c et d} « A081262 - OEIS », sur oeis.org

[2] Go Kato et Shin-ichi Minato, « Enumeration of associative magic squares of order 7 », arXiv:1906.07461 [math],‎ 18 juin 2019 (lire en ligne, consulté le 11 mai 2020)

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